　　　　　　　虚数（imaginary number）について
　虚数とは、２乗するとマイナスになる数をいう。英語ではimaginary　numberといい、直訳すれば「想像上の数」です。
虚数をi(imaginaryrの頭文字からとっています）で表そます。つまりありもしない数を虚数として考えます。

　となる。　

　日常生活に使っている数（個数・長さ・重さ等）を実数といい、英語に訳すとreal numberである。
実数全体を表すのには「数直線」で表すことが出来るが虚数は、数直線の「外」にあり、数直線上のどこにもない。
ならば、数直線の外、つまり原点から上方向へ延ばした矢印を虚数とする。

複素平面

虚数を可視化すると、左の座標平面になる。横軸を実数全体を表す数直線をとり、
虚数を原点を通り実数軸から垂直な直線を虚数とする。
　虚数と実数を同時に表現しているので、合わせて複素数（complex　number）
といいこの様な平面を複素平面という。
　
　複素平面から虚数ｉの掛け算は反時計回りに９０°回転になる。
そうすると、反時計回りに１８０°転回すると実数軸の実数は－１なりますね。
１８０°回転することは虚数ｉの掛け算はｉ×ｉとなり、その時の値は－１です。

従って

となる

（解Ⅱ）複素平面より虚数を利用して証明
科学雑誌 Newton2008/12号から引用